RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

DEFINICIÓN DE TRIGONOMETRÍA Y RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

En sus inicios, la trigonometría consistió principalmente en una ciencia del cálculo basada en teoremas geométricos. Los tratados matemáticos de las civilizaciones que precedieron a la Grecia clásica, sobre todo las culturas mesopotámicas, manifiestan algunos cálculos y expresiones que indicaban el desarrollo de una incipiente trigonometría.

Las aportaciones del matemático griego Tales de Mileto (624-548 a.C.), que proporcionaron el surgimiento de las teorías de semejanza o similidad – y que en la actualidad tienen tanta aplicación en el dibujo, los planos, las escalas, la fotografía, entre otras-, son el punto de partida para el desarrollo de la trigonometría.

La palabra trigonometría es un vocablo latino compuesto por trígono, que significa “triángulo” (tres ángulos) y metria “proceso de medir” o “medida”. Esta rama de la geometría tuvo su origen en la necesidad de medir distancias a puntos de difícil acceso, como por ejemplo: la altura de las montañas, el ancho de los ríos, la distancia entre puntos lejanos, etc. Además, la trigonometría permite obtener mayor precisión en algunas medidas, sobre todo cuando la representación gráfica no es exacta.

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los distintos elementos de las figuras geométricas, haciendo énfasis en los ángulos y los lados de los triángulos. Los problemas sobre ángulos y distanciasen un plano corresponden a la trigonometría plana, mientras que los mismos problemas en espacios de dos dimensiones son estudiados por la trigonometría esférica. El estudio de las funciones trigonométricas, que se abordarán a partir de este punto, ha dado origen a la trigonometría analítica.

Los estudios teóricos de la trigonometría se remontan hasta los babilonios, los griegos y los árabes. Sus aplicaciones se daban, principalmente, en la agrimensura, es decir, en la medición de las tierras de cultivo, y en la navegación.

En 1614, el matemático Francés John Napier (1550-1617) descubrió los logaritmos, hecho que favoreció el desarrollo de la trigonometría; no obstante, corresponde a Leonhard Euler, matemático Suizo (1707-1783), la consolidación de esta rama de las matemáticas.

El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar un número mayor que tomado como base, para obtener el número dado. Si la base es un número a > 1, el logaritmo base a de un número x se representa de la siguiente manera log_ax.

Los logaritmos naturales, cuya base es el número 

, son también conocidos como logaritmos neperianos en honor a John Napier.

En conclusión, se puede plantear que la Trigonometría es el estudio den las relaciones entre los elementos de los triángulos (lados y ángulos). La trigonometría se divide en:

• Trigonometría plana. También es conocida como trigonometría rectilínea porque estudia los triángulos rectilíneos y, en general, los triángulos construidos en los planos.
• Trigonometría del espacio esfera. Su objetivo del estudio son los triángulos esféricos; esto es la región de la superficie de una esfera limitada por los arcos de tres circunferencias máximas.

En este blog solamente estudiaremos la trigonometría plana para la resolución de problemas relativos a los

elementos de triángulos rectángulos y oblicuángulos.


Un ángulo es la amplitud de rotación 

de una semirrecta que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj. El lado donde empieza se llama inicial, mientras que el lado al que llega recibe el nombre de terminal o final.

En geometría, solo se considera el ángulo con un valor máximo de una vuelta; es decir, 360° o "pi". En cambio, en trigonometría, la semirrecta puede dar más de una vuelta.

El ángulo se considera positivo, si el giro es en sentido contrario al de las manecillas del reloj, como se observa a continuación:

Mientras que recibe el nombre de ángulo negativo si el giro es en el mismo sentido en el que giran las manecillas del reloj, como a continuación:

Se llama ángulo de elevación si se mide hacia arriba y ángulo de depresión si se mide hacia abajo. Observa que en el ejemplo los dos ángulos son positivos.

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Como ya se ha mencionado, la trigonometría se fundamenta en las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Si trazamos el triángulo OMP en un círculo de radio 10, tendremos los siguientes valore para los lados:

• OP=10
• OM=8
• PM=6
• OP´=10
• OM´=6
• P´M´=8

Si comparamos los lados, tendremos las siguientes razones:

Si el ángulo central aumenta la amplitud de la rotación para formar el triángulo OM´P´ , tendremos las siguientes razones:

Si el ángulo sigue aumentando, la razón variará, por lo que podemos concluir que el valor de la razón depende o está en función del valor o de la amplitud del ángulo. Ese es el motivo por el cual con éstas relaciones o razones trigonométricas podemos definir las funciones trigonométricas.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO AGUDO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Podemos comparar los lados de un triángulo en función de un ángulo agudo de seis maneras diferentes: las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Considera el  

tendremos para el ángulo R.

Los catetos son los lados que forman el ángulo recto.

La hipotenusa es el lado mayor y se opone al ángulo recto.

Según el triángulo de que se trate, los catetos se llaman opuesto o adyacente.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

Dos cantidades recíprocas son aquellas cuyo producto es igual a 1.

 son funciones recíprocas porque 

 

De  lo anterior podemos decir que sen b X csc b  = 1; al despejar tendremos:

son funciones recíprocas porque

De  lo anterior podemos decir que cos b X sec b  = 1; al despejar tendremos:

 son funciones recíprocas porque

 De  lo anterior podemos decir que tan b X cot b  = 1; al despejar tendremos:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES: 30° y 60°

Si ABC es un triángulo equilátero de dos unidades por lado, cada uno de sus ángulos mide 60° y la altura divide el ángulo B por la unidad, esto es, 30° cada uno.

Con el teorema de Pitágoras podremos calcular el valor de x en el  

 que es la altura de

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES: 45 GRADOS

Si construimos un cuadrado ABCD de lado igual a 1 y le trazamos una diagonal, tal como se aprecia en la figura de abajo, tendremos el triángulo isósceles ABC.

Como el triángulo es isósceles, tendrá dos lados iguales y por lo tanto dos ángulos iguales, que son los dos ángulos agudos (a lados iguales se oponen ángulos iguales).

Como sabemos, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°, lo que significa que cada uno mide 45°.